18.február.2011 · 8:07 pm

Spojitosť konvexných funkcií

Dokážte, že ak je funkcia f: E\to R konvexná, kde E je konečnorozmerný vektorový priestor, potom je nutne spojitá. Pre jednoduchosť mi stačí dôkaz pre E=R.

Vedeli ste o tejto vlastnosti konvexných funkcií?

Poznámka: obrázok som nehanebne ukradol z webstránky Romana Vershyinina.

Pridaj komentár

Filed under úlohy matematické, úlohy nevyriešené, matematika, podnety

4.november.2010 · 12:37 pm

Video: Science Saved My Soul

Jeden komentár

Filed under hudba, podnety, pohladenie duše, veda, veda vs viera, videá

26.marec.2010 · 10:51 am

Tématika: O svetluškách, Googli a inej matematike

Dnes sa na Gymnáziu na Párovskej ulici v Nitre konala prvá prednáška novozaloženého cyklu absolventských prednášok Tématika. Prednášal som ja. Hovoril som najmä o tom ako funguje Google PageRank, trošku som spomenul tému synchronicity (svetlušky, tlieskanie, kardiostimulátor a podobne) a zostal čas aj na diskusiu.

Toto miesto je venované predovšetkým tm, ktorí boli na prednáške (alebo aj neboli!) a chceli by juakýmkoľvek spôsobom okomentovať, niečo sa spýtať, ďalej diskutovať a podobne.

“Slidy” som zavesil sem.

Jeden komentár

Filed under algoritmy, biológia, matematika, minivýskum, podnety, veda

18.marec.2010 · 10:54 pm

Extremálne vektory

Pri výskume som narazil na jedno čudo. Čo viete povedať o postupnosti vektorov \{w^k\}_{k\geq 0} definovanej v nasledovnej úlohe?

Úloha #46: Nech n\geq 2 a a_1<a_2<\dots < a_{n-1}< a_n sú reálne čísla a w^k\in R^n pre k\geq 0 sú váhy (tj nezáporné reálne čísla, ktorých súčet je jedna) pre ktoré platí, že

1) w^0_i \neq 0 pre každé i=1,\dots,n,

a pre k\geq 0 platí

2) b^{k+1}_i = w^{k}_i(a_i - \sum_j w^{k}_j a_j)^2,

3) w^{k+1}_i = b^{k+1}_i/\sum_j b^{k+1}_j.

Pridaj komentár

Filed under algoritmy, úlohy, úlohy - pôvodné, úlohy matematické, úlohy nevyriešené, matematika, minivýskum, veda

18.február.2010 · 11:30 am

Podnety

Stránku “Podnety” som práve zrušil, akosi na jej aktualizáciu nie je čas. Navyše, ak budem mať čo povedať, jednoducho z toho bude článok na hlavnej stránke a nebudem ho schovávať niekam do menu… Staré “podnety” odteraz budú archivované v tomto článku, bolo mi ich ľúto len tak zošrotovať…

Do tejto sekcie píšem veľmi krátke správy, často niečo čo ma práve zaujalo na webe, a zámerne väčšinou bez komentára. Dúfam, že si tu nájdete niečo zaujímavé na zamyslenie!

1. máj 2009

Typológia aziatov, inuitov a indiánov

Ako rozoznať Mongola od Číňana od Tibeťana od Inuita od Japonca od …? Preštudujte si tento plagát. Rád by som si to niekedy vytlačil a zavesil na stenu.

14. marec 2009

Randyho prednáška na webe

Nevedel som, že prednáška Randyho Pauscha je verejne prístupná na webe. Knihu mám rozčítanú, keď ju dočítam, pozriem si aj video.

30. január 2009

O nepochopení vedy

Pekné 10 minútové video na YouTube.

29. január 2009

Sloboda prejavu je v ohroznení

Alebo: Čo sa podarilo presadiť islamským krajinám na pôde United Nations.

28. január 2009

Veda a demokracia

Výborný článok o vede ako metóde hľadania pravdy, o hodnotách a cnostiach ktoré nás učí a o demokracii.

15. január 2009

Chlapík čo predpovedal finančnú krízu

Peter Schiff predpovedal súčasnú (nielen) finančnú krízu. Tu je video zostrih.

7. november 2008

Lietajúci tanier na Titane

Pekné krátke video o sonde Cassini a prvom pristátí robotickej sondy zo Zeme na povrchu mesiaca inej planéty – Jupitera.

27. október 2008

Lepiaca páska ako lacný domáci Rőntgen?

Fyzici z Kalifornskej univerzity v Los Angeles objavili nečakaný jav. Pri odliepaní obyčajnej lepiacej pásky vo vákuu vzniká obrovský počet Rőntgenových lúčov – ďaleko väčší ako by sa dalo očakávať zo súčasných teórií.

26. október 2008

Tretie pokračovanie konferencie “Beyond Belief”

Beyond Belief: Candles in the Dark je tu! Ak to budete chciet vidieť offline, existuje aj torrent (nájdite si ho). Určite si pozrite minimálne prednášku V.S. Ramachandrana. Ako zvyčajne, je skvelý!

1. október 2008

Možno žijeme v obrovskej časoprestorovej bubline…

Šokujúce fyzikálne merania z roku 1998 ukazujú, že náš vesmír sa nielenže rozpína, ale rýchlosť rozpínania sa zvyšuje. Na to aby to bolo možné, je potrebné predpokladať, že asi 74% energie vesmíru tvorí tajomná čierna energia, ktorá toto rozpínanie spôsobuje. Nedávno sa však začali vo vedeckých kruhoch objavovať iné možne vysvetlenia. Čo ak pozorovateľný vesmír je len akousi riedkou bublinou vo väčšom vesmírnom komplexe, v ktorom je hustota hmoty oveľa vyššia? Ak by to tak bolo, čierna energia by už na vysvetlenie zrýchlujúceho sa rozpínania vesmíru nebola potrebná – príčinou by bola gravitačná sila hmoty mimo našej bubliny. Problém s týmto vysvetlením je, že sa vraciame k určitej verzii geocentrizmu, porušujúc Kopernikov princíp. Astrofyzici Clifton, Ferreira a Land z Oxfordskej univerzity už majú pripravený expriment, ktorý by medzi týmito dvomi teóriami vedel rozhodnúť. Odpoveď sa možno dozvieme už v roku 2015, kedy sa chystá spustenie NASA projektu Joint Dark Energy Mission.

24. september 2008

Čudesný čierny tok tečie rýchlosťou 3,2 milóna km/h smerom k súhvezdiu Kentaura!

Po čiernej hmote a čiernej energii tu už máme aj čierny tok! V októbrovom čísle vedeckého časopisu Astrophysical Journal Letters sa dočítate, že vo vesmíre sme objavili ďalšiu záhadu. Vyzerá to tak, že tento gigantický pohyb hmoty nemožno vysvetliť nijakým známym fyzikálnym procesom v pozorovateľnom vesmíre (t.j. časti vesmíru vzdialenej od nás iba tak ďaleko, že od veľkého tresku bolo dostatok času aby k nám odtiaľ priletelo svetlo).

22. september 2008

Uhľovodíky v súhvezdí Perzea

700 svetelných rokov od nás, v súhvezdí Perzea, v mraku medzihviezdnej hmoty, detekovali vedci prítomnosť polycyklických aromatických uhľovodíkov, konkrétne naftalén. Keďže život ako ho poznáme je založený práve na karbohydrátoch, tento objav je zaujímavým článkom do mozaiky vysvetlenia vzniku života na Zemi.

18. september 2008

Viera pomáha tlmiť bolesť

Mozog hlboko veriacich katolíkov reaguje na bolesť inak ako je to u ateistov. Ak ich uštipnete pritom ako sa pozerajú na obraz svätca, cítia menej bolesti. Nerobím si srandu, štúdia je ešte teplučká, priamo z Oxfordskej pekárne. Zmena v spracovaní mozgom je viditeľná cez magnetickú rezonanciu.

16. september 2008

Prvá planéta obiehajúca okolo hviezdy podobnej Slnku?

Je cca osemkrát ťažšia ako Jupiter a od hviezdy 1RXS J160929.1-210524 (kto ju krstil??) sa nachádza vo vzdialenosi až 11x väčšej ako je vzdialenosť Slnko-Neptún. Vedcom sa to zdá čudné a je možné, že planéta je niekde úplne inde ako sa javí… Viac si môžete prečítať tu.

15. september 2008

Zničil už veľký hadrónový urýchľovač Zem?

Ak chcete mať up-to-date info, kliknite sem!

Po 150 rokoch sa Anglikánska cirkev ospravedlní Darwinovi za odmietnutie evolúcie

Zároveň AC porovnáva túto historickú chybu k odmietnutiu Galileových astronomických myšlienok v 17. storočí. Hmm, zaujímavé. Článok je tu.

14. september 2008

Kreacionizmus verzus Kráľovská vedecká spoločnosť

Tak to vyzerá, že po niekoľkých rokoch polemiky medzi vedeckou obcou a proponentami “teórie” inteligentného dizajnu (Dover a pod) o učení kreacionizmu v školskom vedeckom kurikulu v USA sa konflikt vyostruje aj vo Veľkej Británii.

ABC FORA. Myšlienky. Prednášky. Debaty.

Práve som narazil na túto webstránku a pozrel si jedno video. Na prvý pohľad mi to pripomína TED Talks, ale v Austrálskom podaní. S témami ako veda, náboženstvo, filozofia, umenie a mnohými ďaľšími to vyzerá veľmi sľubne!

13. september 2008

Prečo sme poverčiví alebo “konaj než bude neskoro”

Vedecký tím na Harvarde prišiel so zaujímavým a prekvapivo jednoduchým vysvetlením ľudskej poverčivosti (superstition). Do dvoch viet by sa celý nápad dal zhrnúť asi takto:

Naši predkovia mali väčšiu šancu na prežitie keď šuchot za ich chrbtom v pralese radšej interpretovali ako blížiace sa nebezpečie (predátor, lovec nepriateľského kmeňa a pod), pretože v opačnom prípade riskovali, že tam ten predátor skutočne je a že ich zje. Ľudí s “flegmatickými génmi” bolo stále menej a menej (stačilo sa raz seknúť v úsudku a medveď si ich dal na obed), až napokon evolučne prevládli gény, ktoré takúto interpretáciu automatizovali a zjednodušovali (evolučný tlak na vznik poverčivosti).

11. september 2008

Kde je 96% vesmíru a podobné otázky

Čo je to hmotnosť? Kde sa stratilo 96% vesmíru? Čo sa podelo so všetkou antihmotou? Ako to vyzeralo v prvej sekunde po veľkom tresku? Má náš svet v skutočnosti 11 dimenzií?

Vedecké experimenty v nedávno spustenom Veľkom hadrónovom urýchľovači (LHC) by mali dokázať priniesť odpovede na aspoň niektoré z týchto otázok. Podľa Briana Greena je však na celej veci najvzrušujúcejšia reálna možnosť dozvedieť sa o svete niečo úplne nečakané, niečo čo nás prinúti zmeniť základy nášho chápania kozmu.

Pridaj komentár

Filed under podnety, postrehy, veda

17.február.2010 · 11:22 am

Pátranie po dvoch dôkazoch

Úloha #45: Pred pár dňami som počas skúmania istého matematického problému “narazil” na výraz x^TB^2x - (x^T B x)^2, kde B je kladne semidefinitná štvorcová matica a vektor x má dĺžku menšiu alebo rovnú 1.

V kontexte problému dával tento výraz zmysel iba v prípade, keby bol vždy nezáporný. Podujal som sa to teda overiť, a aj sa mi to po chvíli podarilo. Táto “skúška správnosti” ma uspokojila, a pokračoval som ďalej v skúmaní. Na druhý deň som si pri inej príležitosti uvedomil, že môj pôvodný dôkaz nebol “from The Book”. Existoval totiž omnoho jednoduchší a jasnejší dôkaz.

Podarí sa Vám vypátrať oba “moje” dôkazy? Prekvapíte ma inými dôkazmi?

Poznámka: Ak chcete v komentároch použiť \LaTeX, tu je návod ako na to.

10 komentárov

Filed under úlohy, úlohy - pôvodné, úlohy matematické, úlohy nevyriešené, matematika, minivýskum

9.február.2010 · 8:55 pm

Permutácie II

Úloha #44: Cez víkend som sa snažil pre vás vymyslieť novú úlohu. Napadla mi nasledovná konštrukcia.

K ľubovoľnému vektoru x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in R^n priradíme vektor f(x) \in R^{n-1} nasledovne: f(x) = (x_{2}-x_1, x_3-x_2,\dots,x_{n}-x_{n-1}). Keďže túto operáciu budeme aplikovať opakovane, vypomôžme si špeciálnou notáciou. Označme f^{(2)}=f\circ f, f^{(3)}=f\circ f \circ f, a tak ďalej.

Takže napríklad pre x=(1,3,2,4) máme f(x)=(2,-1,2), f^{(2)}(x)=f(f(x))=(-3,3) a napokon f^{(3)}(x)=f(f(f(x)))=6. Je teda zrejmé, že ak x\in R^n, potom f^{(n-1)}(x)\in R. Symbolom S_n označme množinu všetkých vektorov, ktoré získame permutáciou súradníc vektora (1,2,\dots, n).

a) Dokážte, že \sum_{x \in S_n} f^{(n-1)}(x) = 0.

b) Je pravda, že pre každé prirodzené n existuje x \in S_n, pre ktoré f^{(n-1)}(x) \neq 0?

c) S pomocou krátkeho programíku som si všimol, že pre 1\leq n \leq 8 platí, že |k^+_n-k^-_n|\leq 1, kde k_n^+ (resp. k_n^-) je počet prvkov množiny S_n, pre ktoré platí, že f^{(n-1)}(x) je kladné (resp. záporné). Konkrétne máme

k_1^- = 0, k_1^+ = 1

k_2^- = 1, k_2^+ = 1

k_3^- = 2, k_3^+ = 2

k_4^- = 5, k_4^+ = 6

k_5^- = 8, k_5^+ = 8

k_6^- = 15, k_6^+ = 14

k_7^- = 18, k_7^+ = 19

k_8^- = 27, k_8^+ = 28

Je pravda, že |k^+_n-k^-_n|\leq 1 pre každé n?

d) Vieme povedať niečo iné o hodnotách f^{(j)}(x) pre x\in S_n?

Poznámka: V komentároch môžete používať \LaTeX, tu je stručný návod ako na to. Tento článok bol napísaný takto.

15 komentárov

Filed under úlohy, úlohy - pôvodné, úlohy matematické, matematika, minivýskum

4.február.2010 · 11:44 am

Najmenší sústredný kruh obsahujúci Radovu množinu

Úloha #43: Zdá sa, že o Radovej množine sa dá toho povedať pomerne veľa. Pre jednoduchosť predpokladajme, že kruh K má polomer 1 a označme si jeho stred symbolom O.

Nájdete dôkaz nasledovného tvrdenia?

Radovu množnu S možno vpísať do kruhu L so stredom O a polomerom \tfrac{1}{2}(1+d), kde d je vzdialenosť bodu A od O. Toto je zároveň najmenší kruh so stredom v bode O obsahujúci S.

3 komentáre

Filed under úlohy, úlohy - pôvodné, úlohy matematické, úlohy nevyriešené, matematika, minivýskum, veda

3.február.2010 · 11:27 pm

Najmenší kruh obsahujúci Radovu množinu

Úloha #42: Dokážte, že Radovu množinu S možno vpísať do kruhu C polovičného polomeru ako má hlavný kruh K, pričom:

a) C sa celý nachádza v K,
b) C je kruh najmenšieho polomeru spomedzi všetkých, ktoré obsahujú S.

2 komentáre

Filed under úlohy, úlohy - pôvodné, úlohy matematické, úlohy nevyriešené, matematika, minivýskum, veda

3.február.2010 · 6:17 pm

Riešenie Radovej úlohy “Nedosiahnuteľné body”

Tu je úloha a tu je jej riešnie. Pekná úloha, Rado!

Keďže som už nad tým strávil toľko času, ešte sem pridám MATLABovský kód, ktorým som vygeneroval obrázok vľavo:

% Radov problem o kruhu a tetive

clear; clf; clc;

hold on
axis equal

beta = rand*2*pi; t = rand; A = t*[cos(beta); sin(beta)];

i = 0;
for alpha = 0:0.1:2*pi
i = i + 1;
BB(:,i) = [cos(alpha); sin(alpha)];
end
plot(BB(1,:),BB(2,:),’-red’);

i = 0;
for alpha = 0:0.1:2*pi
i = i + 1;
B = BB(:,i);
M = (A+B)/2;
V = [A(2)-B(2);B(1)-A(1)]; % vektor kolmy na B-A

% vyries kvadraticku rovnicu
a = V’*V; b = (A+B)’*V; c = M’*M – 1;
D = sqrt(b^2-4*a*c);
t1 = (-b+ D)/(2*a); t2 = (-b- D)/(2*a);

P1 = M + t1*V; P2 = M + t2*V; % koncove body tetivy
plot([P1(1),P2(1)],[P1(2),P2(2)],’-black’);
end

% testujeme Theorem 1
for i=1:100
alpha = rand*2*pi; t = rand; X = t*[cos(alpha); sin(alpha)]; % nahodny bod vnutri kruznice
if  norm(X,2)  < A’*X + (1-A’*A)/2
plot(X(1),X(2),’.green’);
else
plot(X(1),X(2),’.blue’);
end
end

% testujeme Theorem 5
H = eye(2)-A*A’; v = A/2; t = A’*A; r = 0.5*(1-t)*sqrt(1 + t/(1-t));
for i=1:100
alpha = rand*2*pi; t = rand; X = t*[cos(alpha); sin(alpha)]; % nahodny bod vnutri kruznice
if  (X-v)’*H*(X-v) <= r^2
plot(X(1),X(2),’.green’);
else
plot(X(1),X(2),’.blue’);
end
end

plot(0,0,’+red’); text(0,0.1,’0′);
plot(A(1),A(2),’+blue’);
plot(A(1)/2,A(2)/2,’+magenta’);
text(A(1),A(2)+0.1,’A’);

Poznámka 10.2.2010: Tu nájdete pdf súbor, v ktorom si môžete pozrieť tvorbu Radovej množiny krok po kroku.

Pridaj komentár

Filed under úlohy, úlohy - riešenia, úlohy matematické, úlohy s riešením, matematika, minivýskum